Analysis: Funktionen — Folgen — Reihen by Heinz Junek

By Heinz Junek

Dieses Lehrbuch ist eine leicht verständliche und systematische Einführung in die research. Ausgangspunkt ist der Körper der reellen Zahlen, auf dem unter maßgeblicher Verwendung der Ordnungsrelation die klassischen elementaren Funktionen konstruiert werden. Dies entspricht dem Vorgehen in der Schule. Das weitere Eindringen in die research erfordert die größere Flexibilität des Grenzwertbegriffs. Mit diesem tool wird in den nachfolgenden Abschnitten in die Theorie der Folgen und Reihen, die Theorie der stetigen Funktionen sowie in die Differential- und Integralrechnung eingeführt. Das Buch schließt mit einem Ausblick auf komplexe Zahlen und komplexe Funktionen. Vielfältige Anwendungen sowie zahlreiche Beispiele, Abbildungen und Aufgaben unterstützen den Leser bei der Aneignung des Stoffes. Lösungshinweise und vollständige Lösungen der Aufgaben komplettieren das Buch.

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_1) 2 3 4 5 8 9 16 2n- + 1 2n 1 1+ 2 1 +2·4 Daher gilt s2 n ~ 00 1 + 4·8 fUr n ~ 00 + 1 8·16 +... 1: Summen und skalare Vielfache konvergenter Reihen sind konvergent, und 00 00 00 00 n=O n=O n=O n=O es gelten ~)an + bn ) = Lan + Lbn und LC ·an 00 = c· Lan fUr aHe C E R. n=O Beweis: Die Formeln gelten fUr die Partialsummen, also auch fUr deren Grenzwerte. 2 (Monotoniekriterium): Eine Reihe mit nichtnegativen Gliedem ist genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen beschrltnkt ist.

K=O k=O k=O nEN Die Reihe heiBt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert, im anderen Fall heiBt sie divergent. 1m konvergenten Fall benutzt man das Rei00 n hensymbol aueh zur Bezeichnung des Grenzwertes: ~>k = lim Lak. k=O n~oo k=O Die Doppelbedeutung der Symbolik wird nieht zu Verwechslungen fUhren. 2 (Notwendiges Kriterium): 1st Lak konvergent, so ist (ak) eine Nullfolge. k=O Beweis: Naeh Voraussetzung ist die zugeMrige Partialsummenfolge (sn) konvergent, also aueh eine Cauehyfolge.

9 nach oben be- schrankt ist. ) n heiBt n~ -x monoton wachsend. Beweis: Wir Ubergehen den Nachweis der Monotonie und Beschranktheit, der wiederum durch geschickte Umformungen und Anwendung der Bemoullischen Ungleichung gefUhrt werden kann, und wenden uns dem Nachweis der Wertverlaufsgleichheit der Funktionen f(x) = lim (I n~ 0 rational.

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